原创吴国平：高考函数单调性类问题，难，但用上导数将事半功倍

原标题：吴国平：高考函数单调性类问题，难，但用上导数将事半功倍

从近几年高考数学试卷来看，导数及导数的应用成为高考的热点，尤其是用导数求函数的单调性有关的试题已经是高考数学的热点。利用这一性质可以证明不等式问题、在恒成立问题中求参数的范围、研究函数的极值与最值。

用导数的性质研究函数的单调性成为必考内容，这就要求学生既要对导数知识极其熟悉，还需要有丰富的应试技巧，从而获得高分。

我们在解决导数求函数的单调性有关的试题时候，常常需要对参数进行讨论，而如何讨论？讨论的依据是什么？这个问题是困扰考生的一大难题，也是大家需要解释清楚的问题。

涉及函数单调性的问题包括解不等式、求最值、比较大小、乃至解方程，这些都是近年高考数学的热点问题。若利用单调性定义求解，一般较为复杂，做此类题目时学生往往半途而废，失分率较高，但利用导数解决这类问题就变得比较简单，学生也易于接受。

导数极大地方便了对函数单调性的研究和相关问题的解决，主要是基于这样几个性质：

求可导函数单调区间的一般步骤和方法：

1、确定函数f(x)的定义域；

2、求f′(x)，令f′(x)＝0，求出它在定义域内的一切实数根；

3、把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；

4、确定f′(x)在各个开区间内的符号，根据f′(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性．

导数求函数的单调性有关的高考试题分析，讲解1：

已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R，e为自然对数的底数)．

(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间；

(2)是否存在a使函数f(x)为R上的单调递减函数，若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

解：(1)当a＝2时，f(x)＝(－x2＋2x)ex，

∴f′(x)＝(－2x＋2)ex＋(－x2＋2x)ex＝(－x2＋2)ex.

令f′(x)＞0，即(－x2＋2)ex＞0，

∵ex＞0，∴－x2＋2＞0，解得－√2＜x＜√2.

∴函数f(x)的单调递增区间是(－√2，√2)．

(2)若函数f(x)在R上单调递减，

则f′(x)≤0对x∈R都成立，

即[－x2＋(a－2)x＋a]ex≤0对x∈R都成立．

∵ex＞0，

∴x2－(a－2)x－a≥0对x∈R都成立．

∴Δ＝(a－2)2＋4a≤0，

即a2＋4≤0，这是不可能的．

故不存在a使函数f(x)在R上单调递减．

f′(x)>0与f(x)为增函数的关系：f′(x)>0能推出f(x)为增函数，但反之不一定．如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0，所以f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件。

导数求函数的单调性有关的高考试题分析，讲解2：

已知函数f（x）=bx﹣axlnx（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线与直线平y=（1﹣a）x行．

（1）若函数y=f（x）在[e，2e]上是减函数，求实数a的最小值；

（2）设g（x）=f（x）/lnx，若存在x1∈[e，e2]，使g（x1）≤1/4成立，求实数a的取值范围．

考点分析：

利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．

题干分析：

（1）求出函数的导数，得到b﹣a=1﹣a，解出b，求出函数的解析式，问题转化为a≥1/（lnx+1）在[e，2e]上恒成立，根据函数的单调性求出a的范围即可；

（2）问题等价于x1∈[e，e2]时，有g（x）min≤1/4成立，通过讨论a的范围结合函数的单调性求出a的具体范围即可．

函数的单调性：

在(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.

f′(x)≥0⇔f(x)在(a，b)上为增函数．

f′(x)≤0⇔f(x)在(a，b)上为减函数．

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